تعامد توابع با محمل جدا در فضای هیلبرت هسته بازتولید

فرض کنی h یک فضای هیلبرت متشکل از توابع اسکالر مقدار روی یک مجموعه ی $x$ باشد. اگر برای هر x in xتابعک خطی delta_{x}:hlongrightarrow f}$ با تعریف delta_{x}(f)=f(x) برای هر fدرh یک تابعک خطی پیوسته روی فضای هیلبرت mathcal{h} باشد، آنگاه h یک فضای هیلبرت هستهِ ی بازتولید می نامند.ایده ی هسته ی بازتولید برای اولین بار در سال 1907 توسط gi{h5} روی مسائل مقدار مرزی برای توابع هارمونیک و غیرهارمونیک بکار رفت. بعد از او در سال 1909 gi{h6} هسته ی بازتولید را در نظریه انتگرالی هیلبرت امتحان کرد. وی این توابع را هسته ی معین مثبت نام گذاری کرد cite{ok}. این نتایج برای مدت طولانی، دیگر بررسی نشد تا اینکه ایده ی هسته ی بازتولید در مقاله سه ریاضیدان آلمانی به نامهای gi{h8} (1921)، gi{h7} (1922 و بوخنر (1922) مورد بررسی قرار گرفت. حدود سال 1948 نظریه هسته های بازتولید توسط gi{nb} قاعده مند شد cite{ar}. بعد از او تحقیقات زیادی توسط افراد مختلف روی این موضوع تا این زمان صورت گرفته است.این فضاها که به فضاهای هسته ی بازتولید ( $ rkhs $ ) معروف هستند، کاربرد وسیعی در آنالیز مختلط، آنالیز هارمونیک، مکانیک کوانتومی، آمار، معادلات دیفرانسیل، انرژی متناهی فوریه، هانکل، تبدیل سیگنالها با باند محدود در پردازش تصویر، هوش مصنوعی و غیره دارد cite{sh} وcite{zh2}. ewline تابع دو متغیره $k: x imes x longrightarrow mathbb{f}$ را یک تابع هسته گویند در صورتی که برای هر زیر مجموعه متناهی و متمایز ${,x_{1},x_{2},cdots,x_{n},}$ از $x$ ماتریس $[k(x_{i},x_{j})]_{n imes n}$ یک ماتریس نیمه معین مثبت باشد. gi{h4} نشان داد که متناظر با هر تابع هسته یک فضای هیلبرت هسته ی بازتولید وجود دارد. فضای هیلبرت هسته ی بازتولید متناظر با تابع هسته ی $k$ با نماد $mathcal{h}_{k}$ نشان داده می شود. بوخنر ارتباط بین تابع هسته و تبدیل فوریه اندازه های بورل را مورد بررسی قرار داد. فرض کنیم $mathcal{h}$ یک فضای هیلبرت با ضرب داخلی $langlecdot,cdot angle$ متشکل از توابع پیوسته روی فضای توپولوژیک $ x $ باشد. می گوییم توابع محمل جدا در $mathcal{h}$ دارای خاصیت تعامد می باشند هرگاه برای هر f,g h که supp(f)cap supp(g)=emptyset داشته باشیم $langle f,g angle_{mathcal{h}}=0$. با معرفی تابع شاخص و در نظر گرفتن دو مجموعه باز از فضای توپولوژیک $x$ شرط تعامد توابع محمل جدا در فضای mathcal{h}_{k} بررسی می شود. هم چنین با استفاده از تابع هسته ارتباط توابع محمل جدا در فضای mathcal{h}_{k} و فضای ماتریس ها را می توان مشخص کرد.